4个月宝宝体温37.7℃，可以采取如下措施：

1、喝水：要给宝宝喝一点温水，让宝宝出汗；

2、密切监测体温变化情况：隔半个小时就要用体温表测量体温，观察体温变化趋势，是否继续升高至38℃等，或者慢慢地平缓；

3、观察有无伴随症状：有无咳嗽、流鼻涕、不爱吃饭等症状，如果有这些症状，宝宝就是有感冒，可以平时备一点小中药，一般不要随便吃抗生素。无论是治疗细菌感染或者病毒感染，小中药在有体温升高时，多数情况下吃都不会有错，如小儿豉翘、小儿热速清等。

每个宝宝对药物的反应不一样，有的宝宝吃完中药以后大便干燥，适当地加一点量也可以。而有的宝宝吃完就腹泻，可以适当地减一点量。如果宝宝体温一旦升到38.5℃，就要口服退热药。